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22.1 Definiciones para Ecuaciones Diferenciales. |
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Resuelve el problema del valor en la frontera para ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Aquí, soluc es una solución general de la ecuación, como las que calcula ode2
, xval1 es una ecuación de la forma x = x0
para la variable independiente y yval1 es una ecuación de la forma y = y0
para la variable dependiente. Los argumentos xval2 y yval2 son ecuaciones a verificar por estas mismas variables en otro punto. Véase ode2
para un ejemplo sobre su utilización.
La función dsolve
resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales utilizando la transformada de Laplace. Aquí las eqi (i
=1,..,n) son ecuaciones diferenciales con variables dependientes x_1, ..., x_n. Las relaciones funcionales deben indicarse explícitamente tanto para las ecuaciones como para las variables. Por ejemplo,
'diff(f,x,2)=sin(x)+'diff(g,x); 'diff(f,x)+x^2-f=2*'diff(g,x,2); |
no es el formato apropiado. El método correcto es
'diff(f(x),x,2)=sin(x)+'diff(g(x),x); 'diff(f(x),x)+x^2-f=2*'diff(g(x),x,2); |
La llamada a la función debe ser entonces desolve([%o3,%o4],[f(x),g(x)]);
.
Si las condiciones iniciales en 0 son conocidas, deben ser suministradas antes de llamar a desolve
haciendo uso previo de la función atvalue
,
(%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x); d d (%o1) -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x) dx dx (%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x); 2 d d (%o2) --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x) 2 dx dx (%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a); (%o3) a (%i4) atvalue(f(x),x=0,1); (%o4) 1 (%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]); x (%o5) [f(x) = a %e - a + 1, g(x) = x cos(x) + a %e - a + g(0) - 1] (%i6) [%o1,%o2],%o5,diff; x x x x (%o6) [a %e = a %e , a %e - cos(x) = a %e - cos(x)] |
Si desolve
no encuentra una solución, entonces devuelve false
.
Resuelve el problema del valor inicial en ecuaciones diferenciales de primer orden.
Aquí, soluc es una solución general de la ecuación, como las que calcula ode2
, xval es una ecuación de la forma x = x0
para la variable independiente y yval es una ecuación de la forma y = y0
para la variable dependiente. Véase ode2
para un ejemplo sobre su utilización.
Resuelve el problema del valor inicial en ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Aquí, soluc es una solución general de la ecuación, como las que calcula ode2
, xval es una ecuación de la forma x = x0
para la variable independiente y yval es una ecuación de la forma y = y0
para la variable dependiente, siendo dval una ecuación para la derivada de la variable dependiente respecto de la independiente en el punto xval. Véase ode2
para un ejemplo sobre su utilización.
La función ode2
resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Admite tres argumentos:
una ecuación diferencial ordinaria ecu, la variable dependiente dvar y la variable independiente ivar. Si ha tenido éxito en la resolución de la ecuación, devuelve una solución, explícita o implícita, para la variable dependiente. El símbolo %c
se utiliza para representar la constante en el caso de ecuaciones de primer orden y los símbolos %k1
y %k2
son las constantes de las ecuaciones de segundo orden. Si por cualquier razón ode2
no puede calcular la solución, devolverá false
, acompañado quizás de un mensaje de error. Los métodos utilizados para las ecuaciones de primer orden, en el orden en que se hace la tentativa de resolución son: lineal, separable, exacto (pudiendo solicitar en este caso un factor de integración), homogéneo, ecuación de Bernoulli y un método homogéneo generalizado. Para las ecuaciones de segundo orden: coeficiente constante, exacto, homogéneo lineal con coeficientes no constantes que pueden ser transformados en coeficientes constantes, ecuación equidimensional o de Euler, método de variación de parámetros y ecuaciones exentas de las variables dependientes o independientes de manera que se puedan reducir a dos ecuaciones lineales de primer a ser resueltas secuencialmente. Durante el proceso de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, ciertas variables se utilizan con el único propósito de suministrar información al usuario: method
almacena el método utilizado para encontrar la solución (como por ejemplo linear
), intfactor
para el factor de integración que se haya podido utilizar, odeindex
para el índice del método de Bernoulli o el homogéneo generalizado y yp
para la solución particular del método de variación de parámetros.
A fin de resolver problemas con valores iniciales y problemas con valores en la frontera, la función ic1
está disponible para ecuaciones de primer orden y las funciones ic2
y bc2
para problemas de valores iniciales y de frontera, respectivamente, en el caso de las ecuaciones de segundo orden.
Ejemplo:
(%i1) x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x; 2 dy sin(x) (%o1) x -- + 3 x y = ------ dx x (%i2) ode2(%,y,x); %c - cos(x) (%o2) y = ----------- 3 x (%i3) ic1(%o2,x=%pi,y=0); cos(x) + 1 (%o3) y = - ---------- 3 x (%i4) 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0; 2 d y dy 3 (%o4) --- + y (--) = 0 2 dx dx (%i5) ode2(%,y,x); 3 y + 6 %k1 y (%o5) ------------ = x + %k2 6 (%i6) ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2)); 3 2 y - 3 y (%o6) - ---------- = x 6 (%i7) bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3); 3 y - 10 y 3 (%o7) --------- = x - - 6 2 |
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