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16.1 Introducción a las Funciones Especiales | ||
16.2 specint | ||
16.3 Definiciones para las Funciones Especiales |
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El paquete hypgeo
permite calcular transformadas de Laplace de funciones especiales, mientras que hyp
es otro paquete destinado al cálculo de funciones hipergeométricas generalizadas.
Por otro lado, specint
tiene por objeto calcular la integral definida (en el intervalo que va desde cero hasta infinito) de expresiones que contengan funciones especiales. Cuando el integrando contenga el factor exp (-s t)
,
el resultado no es otro que la transformada de Laplace.
La sintaxis es la siguiente:
specint (exp (-s*t) * expr, t); |
donde t es la variable de integración y expr es una expresión que contiene funciones especiales.
Si specint
no puede calcular la integral, la respuesta que se obtiene puede contener símbolos de Lisp, entre los que se incluyen
other-defint-to-follow-negtest
,
other-lt-exponential-to-follow
,
product-of-y-with-nofract-indices
, etc.; este es un fallo conocido del programa.
A continuación se especifican las notaciones correspondientes a las funciones especiales:
bessel_j (index, expr) Función de Bessel de primera especie bessel_y (index, expr) Función de Bessel de segunda especie bessel_i (index, expr) Función de Bessel modificada de primera especie bessel_k (index, expr) Función de Bessel modificada de segunda especie %he[n] (z) Polinomio de Hermite (Ojo: |
Con la instrucción demo ("hypgeo")
se podrán ver algunos ejemplos de transformadas de Laplace calculadas por specint
.
Este paquete aún está en desarrollo, por lo que algunos nombres de funciones pueden sufrir cambios.
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Función Ai de Airy.
Si el argumento x es un número, se obtiene el valor numérico de airy (x)
.
En caso contrario, se devuelve la expresión no evaluada airy (x)
.
La ecuación de Airy diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0
tiene dos soluciones linealmente independientes, llamadas ai
y bi
. Esta ecuación es muy utilizada para obtener aproximaciones a problemas complejos en muchos ámbitos de la física matemática.
La instrucción load ("airy")
carga las funciones ai
, bi
, dai
y dbi
.
El paquete airy
contiene algoritmos para calcular ai
y bi
, así como sus derivadas dai
y dbi
. El resultado es un número decimal en coma flotante si el argumento es a su vez un número, en caso contrario será una expresión no evaluada.
Se producirá un error si el argumento es lo suficientemente grande como para que los exponenciales causen un desbordamiento (overflow), o una pérdida de precisión en el sin
o en el cos
. Con esto, el rango de validez es aproximadamente entre
-2800 y 10^38 para ai
y dai
, y entre -2800 y 25 para bi
y dbi
.
Maxima reconoce las siguientes derivadas:
diff (ai(x), x)
devuelve dai(x)
,
diff (dai(x), x)
devuelve x ai(x)
,
diff (bi(x), x)
devuelve dbi(x)
,
diff (dbi(x), x)
devuelve x bi(x)
.
Los valores de las funciones se calculan a partir del desarrollo convergente de Taylor para abs(x) < 3
,
y de las expansiones asintóticas para x < -3
o x > 3
, según sea necesario.
Con esto se consiguen discrepancias numéricas despreciables en x = 3
y x = -3
.
Para detalles, véase Abramowitz y Stegun,
Handbook of Mathematical Functions, Sección 10.4 y Tabla 10.11.
La llamada ev (taylor (ai(x), x, 0, 9), infeval)
devuelve el desarrollo de Taylor con números decimales de la función ai
. Se puede escribir una expresión similar para bi
.
Función Ai de Airy, tal como la definen Abramowitz y Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Sección 10.4.
La ecuación de Airy diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0
tiene dos soluciones linealmente independientes, y = Ai(x)
y y = Bi(x)
. La derivada diff (airy_ai(x), x)
es airy_dai(x)
.
Si el argumento x
es un número decimal real o complejo, se devolverá el valor numérico de airy_ai
siempre que sea posible.
Véanse airy_bi
, airy_dai
y airy_dbi
.
Es la derivada de la función Ai de Airy, airy_ai(x)
.
Véase airy_ai
.
Es la función Bi de Airy, tal como la definen Abramowitz y Stegun,
Handbook of Mathematical Functions, Sección 10.4. Se trata de la segunda solución de la ecuación de Airy diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0
.
Si el argumento x
es un número decimal real o complejo, se devolverá el valor numérico de airy_bi
siempre que sea posible. En los otros casos, se devuelve la expresión sin evaluar.
La derivada diff (airy_bi(x), x)
es airy_dbi(x)
.
Véanse airy_ai
y airy_dbi
.
Es la derivada de la función Bi de Airy, airy_bi(x)
.
Véanse airy_ai
y airy_bi
.
El paquete asympa
contiene funciones de simplificación para realizar análisis asintótico, incluyendo las funciones "big O" y "little o", de uso frecuente en el análisis complejo y numérico.
La instrucción load ("asympa")
carga este paquete.
Función de Bessel de primera especie.
Ya no se recomienda su uso. Utilícese bessel_j (z, a)
en su lugar.
Función de Bessel de primera especie de orden v y argumento z.
La función bessel_j
calcula el arreglo besselarray
tal que besselarray [i] = bessel_j [i + v - int(v)] (z)
para i
desde cero hasta int(v)
.
La función bessel_j
se define como
inf ==== k - v - 2 k v + 2 k \ (- 1) 2 z > -------------------------- / k! gamma(v + k + 1) ==== k = 0 |
aunque la serie infinita no se utiliza en los cálculos.
Función de Bessel de segunda especie de orden v y argumento z.
La función bessel_y
calcula el arreglo besselarray
tal que
besselarray [i] = bessel_y [i + v - int(v)] (z)
para i
desde cero hasta int(v)
.
La función bessel_y
se define como
cos(%pi v) bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z) ------------------------------------------- sin(%pi v) |
si v no es un entero. En caso de que v sea un entero n, se calcula el límite cuando v se aproxima a n.
Función modificada de Bessel de primera especie de orden v y argumento z.
La función bessel_i
calcula el arreglo besselarray
tal que
besselarray [i] = bessel_i [i + v - int(v)] (z)
para i
desde cero hasta int(v)
.
La función bessel_i
se define como
inf ==== - v - 2 k v + 2 k \ 2 z > ------------------- / k! gamma(v + k + 1) ==== k = 0 |
aunque la serie infinita no se utiliza en los cálculos.
Función modificada de Bessel de segunda especie de orden v y argumento z.
La función bessel_k
calcula el arreglo besselarray
tal que
besselarray [i] = bessel_k [i + v - int(v)] (z)
para i
desde cero hasta int(v)
.
La función bessel_k
se define como
%pi csc(%pi v) (bessel_i(-v, z) - bessel_i(v, z)) ------------------------------------------------- 2 |
si v no es un entero. Si v es igual al entero n, entonces se calcula el límite cuando v tiende a n.
Valor por defecto: false
Controla la expansión de las funciones de Bessel cuando el orden es la mitad de un entero impar. En tal caso, las funciones de Bessel se pueden expandir en términos de otras funciones elementales. Si besselexpand
vale true
, se expande la función de Bessel.
(%i1) besselexpand: false$ (%i2) bessel_j (3/2, z); 3 (%o2) bessel_j(-, z) 2 (%i3) besselexpand: true$ (%i4) bessel_j (3/2, z); 2 z sin(z) cos(z) (%o4) sqrt(---) (------ - ------) %pi 2 z z |
Es la función de Bessel modificada de primera especie de
orden v y argumento z, es decir
scaled_bessel_i(v,z) = exp(-abs(z))*bessel_i(v, z).
Esta función es especialmente útil para calcular bessel_i
cuando z es grande. Sin embargo, Maxima no sabe mucho más
sobre esta función. En cálculos simbólicos, quizás sea
preferible trabajar directamente con la expresión
exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)
.
Idéntica a scaled_bessel_i(0,z)
.
Idéntica a scaled_bessel_i(1,z)
.
Función beta, definida como gamma(x) gamma(y)/gamma(x + y)
.
Función gamma.
Véase también makegamma
.
La variable gammalim
controla la simplificación de la función gamma.
La constante de Euler-Mascheroni es %gamma
.
Valor por defecto: 1000000
La variable gammalim
controla la simplificación de la función gamma con argumentos enteros o racionales. Si el valor absoluto del argumento no es mayor que gammalim
, entonces se realizará la simplificación. Nótese que la variable factlim
también controla la simplificación del resultado de gamma
con argumento entero.
Convierte a en un codificado Poisson.
Transforma las funciones binomial
, gamma
y beta
que aparecen en expr en su notación factorial.
Véase también makegamma
.
Transforma las funciones binomial
, factorial
y beta
que aparecen en expr en funciones gamma
.
Véase también makefact
.
Devuelve el factor numérico que multiplica a la expresión expr, la cual debe tener un único término.
(%i1) gamma (7/2); 15 sqrt(%pi) (%o1) ------------ 8 (%i2) numfactor (%); 15 (%o2) -- 8 |
Convierte a desde codificado de Poisson a una representación general. Si a no está en forma de Poisson, outofpois
hace la conversión, siendo entonces el valor retornado outofpois (intopois (a))
. Esta función es un simplificador canónico para sumas de potencias de senos y cosenos.
Deriva a con respecto a b. El argumento b debe aparecer sólo en los argumentos trigonométricos o sólo en los coeficientes.
Idéntico a intopois (a^b)
. El argumento b debe ser un entero positivo.
Valor por defecto: 5
La variable poislim
determina el dominio de los coeficientes en los argumentos de las funciones trigonométricas. El valor por defecto 5 corresponde al intervalo [-2^(5-1)+1,2^(5-1)], o [-15,16], pero puede reasignarse para [-2^(n-1)+1, 2^(n-1)].
Idéntico a intopois (a + b)
.
Convierte a en una serie de Poisson para a en su representación general.
El símbolo /P/
sigue a la etiqueta de las líneas que contienen expresiones que son series de Poisson.
Sustituye b por a en c, donde c es una serie de Poisson.
(1) Si b es una de las variables u, v, w, x, y o z, entonces a debe ser una expresión lineal en esas variables (por ejemplo, 6*u + 4*v
).
(2) Si b no es ninguna de esas variables, entonces a no puede contener tampoco a ninguna de ellas, ni senos, ni cosenos.
Idéntico a intopois (a*b)
.
Presenta una serie de Poisson en un formato legible. Conjuntamente con outofpois
, si es necesario convertirá a primero en una codificación de Poisson.
Es la derivada de log (gamma (x))
de orden n+1
,
de tal manera que psi[0](x)
es la primera derivada,
psi[1](x)
la segunda derivada y así
sucesivamente.
En general, Maxima no sabe cómo calcular valores numéricos de
psi
, pero sí conoce el valor exacto para
algunos argumentos racionales.
Existen algunas variables globales para controlar en qué rangos
racionales debe devolver psi
resultados exactos, si ello es posible.
Véanse las descripciones de maxpsiposint
, maxpsinegint
,
maxpsifracnum
y maxpsifracnum
.
En resumen, x debe alcanzar un valor entre maxpsinegint
y
maxpsiposint
. Si el valor absoluto de la parte fraccional de
x es racional y tiene un numerador menor que maxpsifracnum
y un denominador menor que maxpsifracdenom
, la función psi
devolverá un valor exacto.
La función bfpsi
del paquete bffac
puede calcular
valores numéricos.
Valor por defecto: 20
La variable maxpsiposint
guarda el mayor valor positivo para el
que psi[n](x)
intentará calcular un valor exacto.
Valor por defecto: -10
La variable maxpsinegint
guarda el menor valor negativo para el
que psi[n](x)
intentará calcular un valor exacto. Si
x es menor que maxnegint
, psi[n](x)
no devolverá
una respuesta simplificada, aunque supiese cómo hacerlo.
Valor por defecto: 4
Sea x un número racional menor que la unidad de la forma p/q
.
Si p
es mayor que maxpsifracnum
, entonces
psi[n](x)
no devolverá una respuesta simplificada.
Valor por defecto: 4
Sea x un número racional menor que la unidad de la forma p/q
.
Si q
es mayor que maxpsifracnum
, entonces
psi[n](x)
no devolverá una respuesta simplificada.
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